Термист Термомеханическое упрочнение арматурного проката технология, средства, разработка

Среднее значение

Среднее, среднее значение - числовая характеристика группы чисел или функций.

Средним для данной группы чисел x₁, x₂, …, x_n называется некоторое число, заключенное между наименьшим и наибольшим из них. Наиболее употребительными средними являются:

среднее арифметическое

,

среднее геометрическое

,

среднее гармоническое

,

среднее квадратичное

.

Если все числа x_i, i=1, 2, ..., n, положительны, то можно для любого α ≠ 0 определить степенное среднее

,

частным случаем которого являются арифметическое, гармоничное и квадратичное средние: именно, s_α равняется x_ср, h и s соответственно при α = 1, -1 и 2. При α → 0 степенное среднее s_α стремиться к среднему геометрическому: s₀ = g.

Если α ≤ β, то s_α ≤ s_β; в частности, h ≤ g ≤ x_ср ≤ q.

Указанные выше средние могут быть получены из формулы

,

где f^-1(η) - функция, обратная к f(ξ) при соответствующем подборе функции f(ξ). Так, среднее арифметическое получается, если f(ξ) = ξ, среднее геометрическое - если f(ξ) = log(ξ), среднее гармоническое - если f(ξ) = 1/ξ, среднее квадратичное - если f(ξ) = ξ².

Наряду со средними степенными рассматриваются взвешенные средние степенные

,

в частности при α = 1

,

которые переходят в обыкновенные степенные средние при p₁ = p₂ = ... = p_n.

Средним значением функции называют некоторое число, заключенное между наибольшим и наименьшим ее значениями.

В дифференциальном и интегральном исчислении имеется ряд “теорем о среднем”, устанавливающих существование таких точек, в которых функция или ее производная получает то или иное среднее значение. Наиболее важной теоремой о среднем в дифференциальном исчислении является теорема Лагранжа (теорема о конечном приращении): если f(x) непрерывна на отрезке [a, b] и дифференцируема в интервале (a, b), то существует точка c, принадлежащая интервалу (a, b), такая, что f(b) - f(a) = (b - a)•f '(c).

В интегральном исчислении наиболее важной теоремой о среднем является следующая: если f(x) непрерывна на отрезке [a, b], а φ(x) сохраняет постоянный знак, то существует точка c из интервала (a, b) такая, что

,

в частности, если φ(x) = 1, то

.

Вследствие этого под средним значением функции f(x) на отрезке [a, b] обычно понимают величину

.

Аналогично определяется среднее значение функции нескольких переменных в некоторой области.

Опубликовано по материалам: Математический энциклопедический словарь. / Гл. ред. Ю.В.Прохоров; Ред. кол.: С.И.Адян, Н.С.Бахвалов, В.И.Битюцков и др. - М.: Сов. энциклопедия, 1988. - 847 с. стр. 558 - 559.

К началу страницы

Web-сайт “Термист” (termist.com)
Термомеханическое упрочнение арматурного проката

Отсутствие ссылки на использованный материал является нарушением заповеди "Не укради"

Редактор сайта: Гунькин И.А. (termist.com@gmail.com)