Термист Термомеханическое упрочнение арматурного проката технология, средства, разработка

Асимптота

Математическая энциклопедия >> Асимптота >> Определения

Асимптота (от греч. ασυμπτωτοζ - несовпадающий, не касающийся) кривой с бесконечной ветвью - прямая, к которой эта ветвь неограниченно приближается. Например, у гиперболы у = 1/x (рис. 1) асимптотами являются оси координат Ox и Oy.

Рис. 1.		Рис. 2.

Кривая может пересекать свою асимптоту (например, график затухающих колебаний, рис. 2). Кривые с бесконечными ветвями могут не иметь асимптот (так, например, её нет у параболы). Если график функции y = f(x) имеет асимптоту, определяемую уравнением y = ax + b, то эта функция может быть представлена в виде f(x) = ax + b•α(x), где α(x) → 0 при x → ∞.

Термин (применительно к гиперболе) приписывают Аполлонию Пергскому (3 в. до н. э.).

Опубликовано по материалам: Математический энциклопедический словарь. / Гл. ред. Ю.В.Прохоров; Ред. кол.: С.И.Адян, Н.С.Бахвалов, В.И.Битюцков и др. - М.: Сов. энциклопедия, 1988. - 847 с. стр. 80.

Построение асимптот при анализе функций

Понятие А. широко используется при анализе функций. Различают горизонтальные, вертикальные и наклонные А.

Кривая y = f(x) имеет горизонтальную А., если существует конечный предел функции f(x) при x → ∞ (x → -∞) и этот предел равен b, т.е.

Кривая y = f(x) имеет вертикальную А. x = a, если при x → a, x → a - 0, x → a, x → a + 0 f(x) → ∞ (f(x) → -∞). Для отыскания вертикальных А. надо найти те значения аргумента, вблизи которых f(x) неограниченно возрастает по абсолютной величине. Если такими значениями аргумента окажутся a₁, a₂, ..., a_n, то уравнения вертикальных А. будут иметь вид x = a₁, x = a₂, ..., x = a_n.

Кривая y = f(x) имеет наклонную А. y = kx + b в том и только в том случае, если существуют конечные пределы

(надо отдельно рассматривать случаи x → +∞ и x → -∞). Наклонная А. - правая, если график приближается к ней при x → +∞, левая, если график приближается к ней при x → -∞ или двусторонняя, если график приближается к ней как при x → +∞, так и при x → -∞. Напомним, что А. кривой y = f(x) может пересекаться с этой кривой как в конечном, так и в бесконечном множестве точек (см. рис. 2).

Примеры:

	Найти асимптоты кривой Имеем Кривая имеет двустороннюю наклонную А. y = x.
	Найти асимптоты кривой Находим горизонтальные А.: Горизонтальная А. одна: y = 0 (ось Ox). Для определения вертикальных А. находим те значения х, в окрестности которых y = 3/(x2-4) неограниченно возрастает по абсолютной величине. Такими значениями являются x = ±2. Следовательно, вертикальными А. являются прямые x = -2 и x = 2.

Опубликовано по материалам: Графики функций: Справочник / Вирченко Н.А., Ляшко И.И., Швецов К.И. - Киев: Наук. думка, 1979, - 320 с.

См. также:
Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. В 3-х томах М. ФИЗМАТЛИТ. Том I, 2001, 680 с. стр. 308 - 311.

К началу страницы

Web-сайт “Термист” (termist.com)
Термомеханическое упрочнение арматурного проката

Отсутствие ссылки на использованный материал является нарушением заповеди "Не укради"

Редактор сайта: Гунькин И.А. (termist.com@gmail.com)