Переход на главную страницу сайта “Термист” Термист
Термомеханическое упрочнение арматурного проката
технология, средства, разработка
Главная О сайте Стандарты Технология Устройства
Лаборатория Библиотека Глоссарий Желтые страницы Обратная связь

Случайные величины

 

См. другие разделы статьи "Теория вероятностей":
Предмет Т.В.
Основные понятия Т.В.
Предельные теоремы
Случайные процессы

См. также статью "Случайная величина"

 

Если каждому исходу ωk испытания T поставлено в соответствие число xr, говорят, что задана случайная величина X. Среди чисел x1, x2, ..., xs могут быть и равные; совокупность различных значений xr при r = 1, 2, ..., s называют совокупностью возможных значений случайной величины. Так, в примере с бросанием двух костей с каждым исходом испытания (i, j) связывается случайная величина X = i+j - сумма очков на обеих костях. Возможные значения суть 2, 3, 4, ..., 11, 12; соответствующие вероятности равны 1/36, 2/36, ..., 2/36, 1/36.

При одновременном изучении нескольких случайных величин вводится понятие их совместного распределения, которое задаётся указанием возможных значений каждой из них и вероятностей совмещения событий
{X1 = a1}, {X2 = a2}, ..., {Xn = an},     (6)
где ak - какое-либо из возможных значений величины Xk. Случайные величины называют независимыми, если при любом выборе ak события (6) независимы. С помощью совместного распределения случайных величин можно вычислить вероятность любого события, определяемого этими величинами, например события
a < X1 + X2 + ... + Xn <b
и т. п.

Часто вместо полного задания распределения вероятностей случайной величины предпочитают пользоваться небольшим количеством числовых характеристик. Из них наиболее употребительны математическое ожидание и дисперсия (см. также Момент, Семиинвариант).

В число основных характеристик совместного распределения нескольких случайных величин наряду с математическими ожиданиями и дисперсиями этих величин включаются коэффициенты корреляции и т. п. Смысл перечисленных характеристик в значительной степени разъясняется предельными теоремами (см. раздел Предельные теоремы).

Схема испытаний с конечным числом исходов недостаточна уже для самых простых применений теории вероятностей. Так, при изучении случайного разброса точек попаданий снарядов вокруг центра цели, при изучении случайных ошибок, возникающих при измерении какой-либо величины, и т. д. уже невозможно ограничиться испытаниями с конечным числом исходов. При этом в одних случаях результат испытания может быть выражен числом или системой чисел, в других - результатом испытания может быть функция (например, запись изменения давления в данной точке атмосферы за данный промежуток времени), системы функций и т. д. Следует отметить, что многие данные выше определения и теоремы с соответствующими изменениями приложимы и в этих более общих обстоятельствах, хотя способы задания распределения вероятностей изменяются (см. "Распределение вероятностей", "Плотность вероятности"). Аналогом классической "равновероятности исходов" здесь служит равномерное распределение рассматриваемых объектов в какой-либо области (именно его имеют в виду, говоря о наудачу взятой из данной области точке, о наудачу взятой секущей данной фигуры и т. п.).

Наиболее серьёзное изменение претерпевает определение вероятности, которое в элементарном случае давалось формулой (2). В более общих схемах, о которых идёт речь, события являются объединениями бесконечного числа элементарных событий, вероятность каждого из которых может быть равна нулю. В соответствии с этим свойство, выраженное теоремой сложения, не выводится из определения вероятности, а включается в него.

Наиболее распространённая в настоящее время логическая схема построения основ теории вероятностей разработана А.Н.Колмогоровым (1933). Основные черты этой схемы следующие. При изучении какой-либо реальной задачи методами теории вероятностей прежде всего выделяется множество Ω элементов ω, называемых элементарными событиями. Всякое событие вполне описывается множеством благоприятствующих ему элементарных событий и поэтому рассматривается как некоторое множество элементарных событий. С некоторыми из событий A связываются определённые числа P(A), называемые их вероятностями и удовлетворяющие условиям
1) 0 ≤ P(A) ≤ 1;
2) P(Ω) = 1;
3) если события A1, A2, ..., An попарно несовместны и A - их сумма, то
P(A) = P(A1) + P(A2) + ... + P(An)
(аддитивность вероятности).

Для создания полноценной математической теории требуют, чтобы область определения P(A) была σ-алгеброй и чтобы условие 3) выполнялось и для бесконечных последовательностей попарно несовместных событий (счётная аддитивность вероятности). Свойства неотрицательности и счётной аддитивности есть основные свойства меры множества. Теория вероятностей может, таким образом, с формальной точки зрения рассматриваться как часть теории меры. Основные понятия теории вероятностей получают при таком подходе новое освещение. Случайные величины превращаются в измеримые функции, их математические ожидания - в абстрактные интегралы Лебега, и т. п. Однако основные проблемы Т. в. и теории меры различны. Основным, специфическим для Т. в. является понятие независимости событий, испытаний, случайных величин. Наряду с этим Т. в. тщательно изучает и такие объекты, как условные распределения, условные математические ожидания и т. п.

В отношении указанной выше схемы можно сделать следующие замечания. В соответствии с ней в основе каждой вероятностной модели лежит вероятностное пространство, рассматриваемое как тройка (Ω, S, P), где Ω - множество элементарных событий, S - выделенная в Ω σ-алгебра подмножеств, P - распределение вероятностей (счётноаддитивная нормированная мера) на S. Два достижения связаны с этой схемой - определение вероятностей в бесконечномерных пространствах (в частности, вероятностей, связанных с бесконечными последовательностями испытаний и случайными процессами) и общее определение условных вероятностей и условных математических ожиданий (по отношению к данной случайной величине и т. п.).

При последующем развитии теории вероятностей выяснилось, что указанное общее определение вероятностного пространства целесообразно ограничить. Так появились понятия совершенных распределений, плотных распределений и т. п.

Известны и другие подходы к основным понятиям теории вероятностей, например аксиоматизация, при которой основным объектом становятся нормированные булевы алгебры событий. Основное преимущество (в предположении, что рассматриваемая алгебра полна в метрическом смысле) здесь состоит в том, что для любых направленных систем событий выполняются соотношения
Известны и другие подходы к основным понятиям теории вероятностей, например аксиоматизация

Возможна аксиоматизация понятия случайной величины как элемента некоторой коммутативной алгебры, на которой определён линейный функционал (аналог математического ожидания).

 

См. другие разделы статьи "Теория вероятностей":
Предмет Т.В.
Основные понятия Т.В.
Предельные теоремы
Случайные процессы

См. также статью "Случайная величина"

 



Опубликовано по материалам: Математический энциклопедический словарь. / Гл. ред. Ю.В.Прохоров; Ред. кол.: С.И.Адян, Н.С.Бахвалов, В.И.Битюцков и др. - М.: Сов. энциклопедия, 1988. - 847 с. стр. 113-117.

 

К началу страницы


Web-сайт “Термист” (termist.com)
Термомеханическое упрочнение арматурного проката

Отсутствие ссылки на использованный материал является нарушением заповеди "Не укради"

Редактор сайта: Гунькин И.А. (termist.com@gmail.com)